微分几何的应用及例子 谁能解释一下:解析几何,微分几何,欧几里得几何之间?

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微分几何的应用及例子

谁能解释一下:解析几何,微分几何,欧几里得几何之间?

谁能解释一下:解析几何,微分几何,欧几里得几何之间?

1.罗巴切夫斯基几何:又名双曲几何,研究当平面变成鞍马型之后,平面几何倒底还有几多可以适用,以及会有甚么特别的现象产生。
其跟欧几里德几何基本只有关于平行的定理不同。2.黎曼几何:将曲面本身看成一个独立的几何实体,而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。发展了空间的概念,提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量,在物理学中用的比较多。3.射影几何:研究图形的射影性质,即它们经过射影变换后,依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。4.分形几何:空间具有不一定是整数的维,而存在一个分数维数 5. 微分几何:运用数学分析的理论研究曲线或曲面在它一点邻域的性质 还有很多啦 看你想怎么分类啦。。。

如何理解微分几何里的联络?

联络是定义在纤维丛上的一个重要的微分几何概念,它起源于黎曼流形的列维-齐维塔联络,后来被扩充到一般的具有流形结构的纤维丛上去,对研究各种几何空间的性质,确定纤维丛的拓扑结构,都有重要作用。它还和理论物理中的规范势等价。
黎曼联络是其中最基本最重要的一种,也就是列维-齐维塔联络。然而有意思的是这个概念的发现和黎曼本人毫无关系,而是在黎曼去世差不多50年后才由列维-齐维提出。
联络起源于微分几何曲面上向量的平行移动。在欧式空间上,由于标架场可以整体定义,那么向量场便可以顺利地求方向导数。然而在流形上,不同点的切空间是不同的向量空间,无法直接进行微分,所以就必须在流形上再赋予一种新的结构,即所谓的“平移同构”,使我们可以定义微分,这样的结构就是现在所说的联络,而列维-齐维塔联络便是黎曼流形上最自然的一种联络,被黎曼度量所唯一确定。
形象而言,联络就是一个映射,把一个向量场映为一个新的向量场,使得它拥有方向导数的性质。
而黎曼联络的要求还要更加严格,增加了挠率为零和保持黎曼内积两条要求。定义了黎曼联络之后,就能像欧式空间一样引入微分,导数等概念,大大方便了对黎曼流形的研究,使得几何学真正焕发了生命力。联络如此重要,以至于之后诞生了专门研究各种联络的联络论。不仅在流形上,之后还定义了切丛,纤维丛上的联络等等。
联络结构的提出,大大促进了微分几何学的发展,甚至可以说改变了微分几何学的面貌,使之有了今天这样繁荣的景象。这些应归功于Levi-Civita,Weyl,Koszul,Ehresmann等数学家。