为什么要学习函数的全微分
常微分方程,偏微分方程,全微分方程各是什么,有什么区别?
常微分方程,偏微分方程,全微分方程各是什么,有什么区别?
微分方程范围最广,包括全微分方程(一元),偏微分方程,常微分方程值系数为常数的微分方程,偏微分方程是多元函数的微分方程
全微分法是什么?
基本含义:全微分法(total_differentiation)指的就是研究多元函数的所有变元(自变量)都发生变动时的性态的方法。为了引进全微分的定义设二元函数z f (x, y)在点P(x,y)的某邻域内有定义,当变量x、y点(x,y)处分别有增量Δx,Δy时函数取得的增量。
全微分方程的判定?
若P(x,y)dx Q(x,y)dydu(x,y),则称Pdx Qdy0为全微分方程,显然,这时该方程通解为u(x,y)C(C是任意常数).
根据二元函数的全微分求积定理:设开区域G是一单连通域,函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则P(x,y)dx Q(x,y)dy在G内为某一函数u(x,y)的全微分的充要条件是P#39(y)Q#39(x),在G内恒成立.
例:判断方程(3x26xy2)dx (4y3 6x2y)dy0是否全微分方程,并求其通解
(3x^2 6xy^2)dx (4y^3 6x^2y)dy0,
P3x^2 6xy^2,Q4y^3 6x^2y,
δP/δy12xyδQ/δx,
所以这是全微分方程,
u(x,y)∫[0,x](3x^2 6xy^2)dx ∫[0,y]4y^3dy
x^3 3x^2y^2 y^4,
方程通解:x^3 3x^2y^2 y^4C.
热力学第一定律的全微分是什么意思?
热力学第一定律的全微分可以理解为,zf(x,y)的两个偏导数fx(x,y),fy(x,y)分别与自变量的增量△x,△y乘积之和 fx(x,y)△x fy(x,y)△y 若该表达式与函数的全增量△z之差, 当ρ→0时,是ρ() 的高阶无穷小, 那末该表达式称为函数zf(x,y)在(x,y)处(关于△x,△y)的全微分。 记作:dzfx(x,y)△x fy(x,y)△y