可逆矩阵与伴随矩阵之间秩的关系
为什么可逆矩阵的乘积仍是可逆的？
为什么可逆矩阵的乘积仍是可逆的？
两可逆矩阵相乘也是可逆矩阵。
证明：设A,B均为可逆矩阵，
则有：|A|，|B|均≠0，
则|AB|＝|A||B|≠0，
则AB可逆。可逆矩阵可以表示为初等矩阵的乘积而初等变换不改变矩阵的秩所以,
用可逆矩阵a乘一矩阵b,
相当于对b作一系列的初等行变换所以
ab
的秩不变,
仍是
b
的秩
为什么原矩阵和伴随矩阵的秩之和小于等于N？
如果A可逆，则R(A)n
A的伴随矩阵A*|A|A^也可逆，即R(A*)n
从而R(A) R(A*)n n2n。
a转置的秩与a伴随矩阵的秩？
矩阵A的秩与A的伴随矩阵的秩的关系：
1、如果 A 满秩，则 A* 满秩；
2、如果 A 秩是 n-1，则 A* 秩为 1 ；
3、如果 A 秩 n-1，则 A* 秩为 0 。（也就是 A* 0 矩阵）
矩阵满秩，R（A）n，那么R（A-1）n，矩阵的逆的秩与原矩阵秩相等，而且初等变换不改变矩阵的秩，A*|A|A-1，R（A*）n
R（A）n-1，行列式|A|0，但是矩阵A中存在n-1阶子式不为0，对此有：
AA*|A|E0，从而r(A) r(A*)小于或等于n，也就是r(A*)小于或等于1，又因为A中存在n-1阶子式不为0，所以Aij≠0，得r(A*)大于或等于1，所以R（A*）1
R（A）n-1,那么A的所有n-1阶子式全为零，A*即为零（规定：零矩阵的秩为零），故R（A*）0
扩展资料
矩阵的秩的性质：
1、矩阵的行秩，列秩，秩都相等。
2、 初等变换不改变矩阵的秩。
3、 矩阵的乘积的秩Rabmin{Ra,Rb}。
4、P，Q为可逆矩阵，则 r(PA)r(A)r(AQ)r(PAQ)。
5、当r(A)n-2时，最高阶非零子式的阶数n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。
6、当r(A)n-1时，最高阶非零子式的阶数n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。