计算第二型曲线积分例题
二重积分保序性例题？
二重积分保序性例题？
1、二重积分是当被积函数在积分区域内是正数是,几何意义是积分曲面与投影面所围区域的体积,若有正有负则是正的区域部分体积减去负的区域部分的体积。
2、二重积分的定义：
设二元函数zf(x,y)定义在有界闭区域D上,将区域D任意分成n个子域Δδi(i1,2,3,…,n)，并以Δδi表示第i个子域的面积.在Δδi上任取一点(ξi,ηi),作和lim n→ ∞ (n/i1 Σ(ξi,ηi)Δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D上的二重积分,记为∫∫f(x,y)dδ,即
∫∫f(x,y)dδlim n→ ∞ （Σf(ξi,ηi)Δδi）
这时,称f(x,y)在D上可积,其中f(x,y)称被积函数,f(x,y)dδ称为被积表达式,dδ称为面积元素, D称为积分域,∫∫称为二重积分号.
同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。
3、二重积分的性质：
性质1 （积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即
∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ
性质2 （积分满足数成） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即
∫∫kf(x,y)dσk∫∫f(x,y)dσ (k为常数）
性质1与性质2合称为积分的线性性。
性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y),则∫∫f(x,y)dσ≦∫∫g(x,y)dσ
推论 ∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣g(x,y）∣dσ
性质4 设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区间D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积，
则mσ≦∫∫f(x,y)dσ≦Mσ
性质5 如果在有界闭区域D上f(x,y)1, σ为D的面积，则Sσ∫∫dσ
性质6 二重积分中值定理
设函数f(x,y)在有界闭区间D上连续，σ为区域的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得
∫∫f(x,y)dσf(ξ，η）●σ
二重积分与第二类曲线积分关系？
格林公式描述了二重积分和第二类曲线积分之间的一种关系。
在区域中一个重要的概念是闭区域。在一维空间中，[-1,2]就是一个闭区域，即闭区域包含区间的两端边界点和内部。在二维空间内，闭区域则由一段闭合曲线和曲线所围成的内部区域组成。
平面区域与闭区域的区别是：平面区域不一定包含区域的边界，但是闭区域一定包含区域的边界。平面区域D又分为单连通域和复连通域。如果平面区域D内任意一条闭合曲线所围成的区域只包含D内的点，则该平面区域为单连通域，否则为复连通域。