正多边形的面积和周长的关系
在周长相等的平面图形中，面积最大的是圆．对错．（判断对错）？
在周长相等的平面图形中，面积最大的是圆．对错．（判断对错）？
在边数相等的情况下正多边形的面积最大--比如若两相邻的边不等，容易证明在保持长度和不变的情况下一旦将它们换成相等时，比原面积要大，所以面积最大的是正多边形．然后证明边数越大面积越大，方法是将正多边形像切蛋糕那样从中心点切成一片一片三角形，每一个三角形的面积等于边长乘以中心到边的距离除以2，于是整个多边形的面积等于周长乘以中心到边的距离除以2，周长一定时，中心到边的距离越长，面积越大．可证，边长越多时中心到边的距离越大，当边长趋于无穷时，中心到边的距离趋近于中心到顶点的距离，这时候面积是最大的．
由此得出周长一定的时候，正多边形的面积随着边数的增加而增加，当边数趋近于正无穷时面积最大值，即为圆；
所以，面积最大的是圆．
故答案为：√．
为什么周长相等的情况下圆的面积最大？
周长相等的情况下圆的面积最大，数学上可以严格证明，但是过于专业，我们用推理的方法，也可以说明周长相等时，圆的面积最大。
拿来一根铁丝对折，可以认为是两条边，面积是零，围成一个正三角形，三条边，面积增加了，围成一个正四边形，四条边，面积继续增加，当正多边形边数是无限多时，就是圆，此时面积最大。
周长相等的两个正多边形的面积大小关系？
设平面上的一个凸的正多边形，周长为C，有n个边。
容易想象，若我们把这个多边形的n个顶点，和这个多边形的中心，连接起来，
我们就得到了n个等腰三角形。
多边形的面积，就是n个这些等腰三角形面积之和。
这些等腰三角形，顶角角度是360°/n，底边长度为C/n。
用字母 θ 表示顶角角度 360°/n。
运用三角函数知识，求得，等腰三角形面积底×高÷2(C/n)× (C/2n)÷sin(θ/2) ÷2 C2/4n2÷sin(θ/2)C2/4n2÷sin(180°/n)。
正多边形面积，就是C2/4n÷sin(180°/n)了。
可见，4n×sin(180°/n)越小，那么相同周长的时候，正多边形面积越大。
我们设180°/n为x，且由于n是大于等于3的整数，所以x大于零且小于60°，也就是0＜x＜π/3。所以4n×sin(180°/n) 4π×sinx÷x，因为180°π（这一步是叫换元，来简便计算）
问题简化为sinx÷x越小，相同周长的时，正多边形面积越大。
由高等数学知识，知道x无限接近于零，同时仍是正数时，sinx÷x最小（其实这时sinx÷x无限接近于1），正多边形面积越大。
所以，n趋向于无穷大的时候，4n×sin(180°/n)就越小，正多边形面积C2/4n÷sin(180°/n)就越大。
所以，相同周长时，边数n越多，正n边形面积越大。