怎么证明函数在定义域连续性
如何证明初等函数在其定义域内处处连续？
如何证明初等函数在其定义域内处处连续？
基本初等函数的连续性，看上去很明显，要证明的话，倒还真不知道，不过如果基于已经知道基本初等函数的连续性，要证明初等函数的连续性，证明就会简单点。
由连续函数的四则运算和复合运算定理内容可以证明，
初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算构成的，由上述定理就可以知道，初等函数在其定义域内处处连续。
所有基本初等函数在其定义域内都是连续的，这句话对吗？
所有基本初等函数在其定义域内都是连续的，这句话是对的。 连续函数的其他性质：
1、在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。
2、连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）。
3、连续函数的复合函数是连续的。
4、一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。
指数函数的连续性？
指数函数
指数函数的定义域为R，这里的前提是a大于0且不等于1。对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不连续，因此我们不予考虑，同时a等于0函数无意义一般也不考虑。
函数在定义域内连续可以说明什么？
在数学上，连续是函数的一种属性，自变量的任何微小变动，因变量都会随之产生足够小的变化结果。一般来讲，函数的曲线如果没有间断、跳跃或无限趋近振荡，就说是连续的。连续性是为了说明函数不间断。可以用来求极值，比如两个函数式子用一个花括号括起来，当然就成了一个函数，如果他们的定义域连续，且说他们连续，那么就知道在他们定义域相交的那个点，数值一定相等。
为什么函数在定义域孤立点处总是连续的？
我们先来看孤立点的定义：
集合 S 的一个点 x，如果存在x的一个邻域U(x,δ)，除了点x以外，U(x,δ)不包含S中的其他点，则称点x为孤点或孤立点。
从图像上来看，函数在孤立点处连续这个结论很难理解。
但是从连续函数的定义和孤立点的定义上进行分析，这个结论却很明显
拓扑空间中，包含某点的每个开集都叫做该点的一个邻域。
函数 在点 处连续，若且唯若对陪域上 的任一邻域 ，皆存在定义域上 的邻域 使得 。定义域的孤立点本身构成的单点集 是个相对开集，故能作为满足条件的邻域 。
要点在于，定义域上的拓扑往往是相对拓扑。